離散概率分佈

伯努利分佈

• $x \sim B(1, p)$
• 玩一次，只有成功或者失敗
• $P(X = x) = p^{x} (1− p)^{1−x}$, 其中 $x = 0,1$
• 太簡單，不用例子

二項分佈

• $x \sim B(n, p)$
• 玩$n$次， 其中有$x$次成功
• $P(X = x) = C^{n}_{x} p^x ( 1 − p )^ {n − x}$, 其中 $x = 0,1,2...,n$

Example

包剪揼，玩5盤驘2盤的概率

Ans

單次勝出概率: $p = \frac{1}{3}$

$X \sim B\left(5, \frac{1}{3}\right)$

$\begin{align} P(X=2) &=C^{5}_{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \left(\frac{2}{3}\right)^3\\ &= 0.3292 \\ \end{align}$

$\begin{align} E(X)&=5 \left(\frac{1}{3}\right) \\ &=1.6667 \end{align}$

$\begin{align} Var(X)&=5 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right) \\ &= 1.1111 \end{align}$

幾何分佈

• 第一次成功在第$x$次發生
• $x \sim Geo(p)$
• $P(X = x) = (1−p)^{x−1} p$, 其中 $x = 0,1,2...$

Example

擲骰，擲第5次才出現1的概率

Ans

出現1的概率：$p = \frac{1}{6}$

$X \sim Geo(\frac{1}{6})$

$\begin{align} P(X = 5) &= \left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right)\\ &= 0.0804 \end{align}$

$E(X)= 6$

$\begin{align} Var(X)&= \frac{1-\frac{1}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2}\\ &=30 \end{align}$

泊松分佈

• 於某時段出現事件$x$次
• $x \sim Po(\lambda)$
• $P(X = x)= \frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}$, 其中 $x = 0,1,2...$

Example

均每一分鐘有3輛車經過學校門口，求某一分鐘有5輛經過學校門口的概率。

Ans

$\lambda = 3$

$X \sim Po(3)$

$\begin{align} P(X = 5) &= \frac{e^{-3}3^5}{5!} \\ &= 0.1008 \end{align}$

$E(X)= Var(X)= 3$