$C^{n}_{r} 的定義$

$\begin{align} C^{n}_{r} &= \frac{n!}{r!(n-r)!} \\[2ex] &= \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{1\times2\times...\times r} \end{align}$

化簡 $C^{7}_{3} \\[2ex]$

答案

$\begin{align} C^{7}_{3} &= \frac{7\times6\times5}{1\times2\times3} \\[2ex] &= 35 \end{align}$

二項展式

$(a+b)^{n} = \sum_{k=1}^{n} C_{r}^{n} a^{k}b^{n-k} \\[2ex] \text{或} \\[2ex] (a+b)^{n} = \sum_{k=1}^{n} C_{r}^{n} a^{n-k}b^{k}$

Q1. 以升冪展開 $(1-x)^{5}$

答案

$\begin{align*} (1-x)^{5} &= C^{5}_{0}1^{5}(-x)^{0} + C^{5}_{1}1^{4}(-x)^{1} + C^{5}_{2}1^{3}(-x)^{2} + C^{5}_{3}1^{2}(-x)^{3} + C^{5}_{4}1^{1}(-x)^{4} + C^{5}_{5}1^{0}(-x)^{5} \\[2ex] &= 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5 \end{align*}$

Q2. 以降冪展開 $(1+x)^{5}$

答案

$\begin{align*} (1+x)^{5} &= C^{5}_{0}1^{0}x^{5} + C^{5}_{1}1^{1}x^{4} + C^{5}_{2}1^{2}x^{3} + C^{5}_{3}1^{3}x^{2} + C^{5}_{4}1^{4}x^{1} + C^{5}_{5}1^{5}x^{0} \\[2ex] &= x^5+ 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 \end{align*}$

Q3. 以升冪展開 $(2-3x)^{n}$ 到 $x^3$

答案

$\begin{align} (2-3x)^{n}&=2^{n}+n\cdot2^{n-1}\cdot{(-3x)}+\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot2^{n-2}\cdot{(-3x)}^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot2^{n-3}\cdot{(-3x)}^3 + \ldots \\[2ex] &=2^n -3n\cdot2^{n-1}x + {9n(n-1)}{2^{n-3}}x^2-{9n(n-1)(n-2)2^{n-4}}{x^3} ... \end{align}$

Section 1 | 二項展式

$C^{n}_{r} 的定義$

二項展式

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